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堆排序

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堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法

预备知识

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，
堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

堆

堆是一种特殊的完全二叉树。堆又分为最大堆和最小堆。

  • 大顶堆: 每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值
  • 小顶堆: 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值

同时，对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，用简单的公式来描述一下堆的定义就是

大顶堆: arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆: arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

堆排序基本思想

将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。

将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。

接着将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。

如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

1. 堆化数组

构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

假设给定无序序列结构如下

此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点）
，从左至右，从下至上进行调整。

找到倒数第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

2. 堆排序

将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。

然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。

如此反复进行交换、重建、交换。

将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

重新调整结构，使其继续满足堆定义

再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路：

　　a. 将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

　　b. 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端;

　　c. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

代码实现

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//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
void maxHeapFixDown(int arr[], int i, int n) {
    int j, tmp;
    tmp = arr[i];
    j = 2 * i + 1;
    while (j < n) {
        if ((j + 1) < n && arr[j + 1] > arr[j]) j++;
        if (arr[j] <= tmp) break;
        arr[i] = arr[j];
        i = j;
        j = 2 * i + 1;
    }
    arr[i] = tmp;
}

// 堆化数组
void makeMaxHeap(int arr[], int n) {
    for (int i = (n / 2 - 1) ; i >= 0 ; i--) {
        maxHeapFixDown(arr, i, n);
    }
}

// 堆排序
void maxHeapSort(int arr[], int n)
{
    makeMaxHeap(arr, n);
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
    {
        swap(arr[i], arr[0]);
        maxHeapFixDown(arr, 0, i);
    }
}

总结

堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。
其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，
根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)…1]逐步递减，近似为nlogn。
所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。

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作者： dreamcatcher-cx
出处： <http://www.cnblogs.com/chengxiao/>
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